Restklassenringe (Z)/Primzahlpotenzen/p ist zwei/Bemerkung

Für  ${}p=2$  ist die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Für  ${}r=1$  ist sie zyklisch (sogar trivial) und für  ${}r=2$  ist  ${}(\mathbb {Z} /(2^{2}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(4))^{\times }$  ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist ${}3$ primitiv. Für  ${}r=3$  hingegen ist  ${}(\mathbb {Z} /(2^{3}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$  nicht zyklisch. Es gilt nämlich

$1^{2}=1\!\!\!\mod 8,\,3^{2}=9=1\!\!\!\mod 8,\,5^{2}=25=1\!\!\!\mod 8{\text{ und }}7^{2}=49=1\!\!\!\mod 8,$

sodass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu

${}(\mathbb {Z} /(8))^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,.$

Ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt zeigen, dass die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ für  ${}r\geq 3$  isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2^{r-2})\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und zwar ist stets ${}5$ ein Element der Ordnung ${}2^{r-2}$. Jede Einheit in ${}\mathbb {Z} /(2^{r})$ hat somit eine Darstellung der Form ${}\pm 5^{i}$.