ist selbst ein Quadratrest modulo
, sodass wir im Folgenden annehmen, dass
teilerfremd zu
ist.
Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall
. Dann ist
-

Die Nichtquadrate modulo
sind
. Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass
und gleichzeitig
ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
-
Für den Fall
ist
-

Die Quadrate modulo
, die zugleich Einheiten sind
(
ist ausgeschlossen),
sind
. Wir müssen also eine Bedingung finden, dass
und zugleich
ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
-
Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten
-
Da diese Zahlen
(bis auf
)
teilerfremd zu

sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.