Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Kongruenzbedingung für 7 Quadratrest/Aufgabe/Lösung

${}7$ ist selbst ein Quadratrest modulo ${}7$, sodass wir im Folgenden annehmen, dass ${}p$ teilerfremd zu ${}7$ ist.

Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall ${}p=3\mod 4$. Dann ist

${}\left({\frac {7}{p}}\right)=-\left({\frac {p}{7}}\right)=-\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.$

Die Nichtquadrate modulo ${}7$ sind ${}3,5,6$. Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass ${}p=3\mod 4$ und gleichzeitig ${}p=3,5,6\mod 7$ ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

$p=3,19,27\mod 28.$

Für den Fall ${}p=1\mod 4$ ist

${}\left({\frac {7}{p}}\right)=\left({\frac {p}{7}}\right)=\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.$

Die Quadrate modulo ${}7$, die zugleich Einheiten sind (${}p=7$ ist ausgeschlossen), sind ${}1,2,4$. Wir müssen also eine Bedingung finden, dass ${}p=1\mod 4$ und zugleich ${}p=1,2,4\mod 7$ ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

$p=1,9,25\mod 28.$

Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten

$p=1,3,7,9,19,25,27\mod 28.$

Da diese Zahlen (bis auf ${}7$)

teilerfremd zu ${}28$ sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.

Zur gelösten Aufgabe