ist selbst ein Quadratrest modulo
, so dass wir im Folgenden annehmen, dass
teilerfremd zu
ist.
Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall
. Dann ist
-
![{\displaystyle {}\left({\frac {7}{p}}\right)=-\left({\frac {p}{7}}\right)=-\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4283bca7537978fcd25b0b15fd5fe422c705433e)
Die Nichtquadrate modulo
sind
. Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass
und gleichzeitig
ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
-
Für den Fall
ist
-
![{\displaystyle {}\left({\frac {7}{p}}\right)=\left({\frac {p}{7}}\right)=\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6a869b5af5de8afc3ba0dc9985673c15b9c778)
Die Quadrate modulo
, die zugleich Einheiten sind
(
ist ausgeschlossen),
sind
. Wir müssen also eine Bedingung finden, dass
und zugleich
ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
-
Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten
-
Da diese Zahlen
(bis auf
)
teilerfremd zu
![{\displaystyle {}28}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247d9f9814ea4c3f45fcd2f7b9e8980fe4b671e5)
sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.