Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis2

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Beweis

Bei ist der Restklassenring gleich selbst und kein Körper. Bei besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist . Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ist keine Primzahl. Sei also von nun an . Wenn keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

mit kleineren Zahlen

Im Restklassenring bedeutet dies, dass die Restklassen und nicht sind, dass aber ihr Produkt

ist. Das kann nach Fakt in einem Körper nicht sein.

Sei nun eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von verschiedene Restklasse , , ein inverses Element besitzt. Da prim ist, sind und teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Dies führt im Restklassenring zur Identität

die besagt, dass und invers zueinander sind.

Zur bewiesenen Aussage