Beweis
Bei
ist der Restklassenring gleich
selbst und kein Körper. Bei
besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
.
Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und
ist keine Primzahl. Es sei also von nun an
.
Wenn
keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
-

mit kleineren Zahlen
-

Im Restklassenring
bedeutet dies, dass die Restklassen
und
nicht
sind, dass aber ihr Produkt
-

ist. Das kann nach
Fakt
in einem Körper nicht sein.
Sei nun
eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von
verschiedene Restklasse
,
,
ein inverses Element besitzt. Da
prim ist, sind
und
teilerfremd.
Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es ganze Zahlen
mit
-

Dies führt im Restklassenring zur Identität

die besagt, dass
und
invers zueinander sind.