Richtungsableitung/K/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

f : 𝕂^{2} ⟶ 𝕂, (x, y) ⟼ x^{2} y,

in einem Punkt $P = (a_{1}, a_{2})$ in Richtung $v = (v_{1}, v_{2})$ . Der Differenzenquotient ist

\begin{matrix} \frac{f (P + s v) - f (P)}{s} & = \frac{f ((a_{1} + s v_{1}, a_{2} + s v_{2})) - f ((a_{1}, a_{2}))}{s} \\ = \frac{(a_{1} + s v_{1})^{2} (a_{2} + s v_{2}) - a_{1}^{2} a_{2}}{s} \\ = \frac{a_{1}^{2} a_{2} + 2 s a_{1} a_{2} v_{1} + s^{2} a_{2} v_{1}^{2} + s a_{1}^{2} v_{2} + 2 s^{2} a_{1} v_{1} v_{2} + s^{3} v_{1}^{2} v_{2} - a_{1}^{2} a_{2}}{s} \\ = 2 a_{1} a_{2} v_{1} + a_{1}^{2} v_{2} + s (a_{2} v_{1}^{2} + 2 a_{1} v_{1} v_{2}) + s^{2} (v_{1}^{2} v_{2}) . \end{matrix}

Für $s \to 0$ gehen die beiden hinteren Summanden gegen $0$ , sodass sich insgesamt

\lim_{s \to 0} \frac{f (P + s v) - f (P)}{s} = 2 a_{1} a_{2} v_{1} + a_{1}^{2} v_{2}

ergibt.

Im Punkt $P = (2, 5)$ ergibt sich in Richtung $v = (1, - 3)$ beispielsweise die Richtungsableitung

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 + 2^{2} \cdot (- 3) = 8 .