Richtungsableitung/K/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,$

in einem Punkt  ${}P=(a_{1},a_{2})$  in Richtung  ${}v=(v_{1},v_{2})$.  Der Differenzenquotient ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}&={\frac {f((a_{1}+sv_{1},a_{2}+sv_{2}))-f((a_{1},a_{2}))}{s}}\\&={\frac {(a_{1}+sv_{1})^{2}(a_{2}+sv_{2})-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&={\frac {a_{1}^{2}a_{2}+2sa_{1}a_{2}v_{1}+s^{2}a_{2}v_{1}^{2}+sa_{1}^{2}v_{2}+2s^{2}a_{1}v_{1}v_{2}+s^{3}v_{1}^{2}v_{2}-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}+s(a_{2}v_{1}^{2}+2a_{1}v_{1}v_{2})+s^{2}(v_{1}^{2}v_{2}).\,\end{aligned}}$

Für ${}s\rightarrow 0$ gehen die beiden hinteren Summanden gegen ${}0$, sodass sich insgesamt

${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}\,$

ergibt.

Im Punkt  ${}P=(2,5)$  ergibt sich in Richtung  ${}v=(1,-3)$  beispielsweise die Richtungsableitung

${}2\cdot 2\cdot 5\cdot 1+2^{2}\cdot (-3)=8\,.$