Richtungsableitung/Nullpunkt/Maximum/Aufgabe/Kommentar

Zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst den Spezialfall ${}y=0$. Dann können wir die Zuordnung ${}x\mapsto \max(x,0)$ als Funktion in einer Variablen auffassen. Ganz offensichtlich ist sie in ${}x=0$ nicht differenzierbar, da das Steigungsverhalten der Funktion unterschiedlich ist, wenn wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts annähern. Daraus können wir direkt folgern, dass die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}(1,0)$ (also in Richtung des Vektors, der die ${}x$-Achse aufspannt) nicht existiert, da wir die Richtungsableitung als Ableitung der Funktion interpretieren können, die sich durch Einschränkung auf eine Gerade ergibt.

Für die allgemeine Betrachtung der Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v=(v_{1},v_{2})$ im Nullpunkt ${}P=0$ untersuchen wir den Differenzenquotienten

${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$

für ${}s\to 0$. Wegen ${}f(P)=f(0)=0$ stimmt dieser mit

${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}$

überein. Per Definition existiert die Richtungsableitung genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Wie wir aber bereits in dem Spezialfall oben gesehen haben, hängt die Grenzwertbetrachtung nun ganz wesentlich davon ab, ob ${}s<0$ oder ${}s>0$ ist, also ob wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts nähern. Falls ${}s>0$ ist, so gilt

${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}={\frac {s\max(v_{1},v_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2}).$

Für den einseitigen Grenzwert mit ${}s>0$ verwendet man auch die Notation ${}\lim _{s\searrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2})$.

Falls ${}s<0$ gilt entsprechend

$\lim _{s\nearrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\lim _{s\nearrow 0}{\frac {s\min(v_{1},v_{2})}{s}}=\min(v_{1},v_{2}).$

Für welche Richtungsvektoren existiert folglich die Richtungsableitung und welchen Wert nimmt die Richtungsableitung dann im Nullpunkt an? Können negative Werte angenommen werden?

Zur kommentierten Aufgabe