Richtungsableitung/R/x^2-xy^2+sin(xy)/Punkt (3,4), Richtung (2,-5)/Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

f : ℝ^{2} ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ x^{2} - x y^{2} + \sin (x y),

im Punkt $P = (3, 4)$ in Richtung $v = (2, - 5)$ . Dazu müssen wir die Hilfsfunktion

h : ℝ ⟶ ℝ, t ⟼ h (t) = f (P + t v),

im Nullpunkt ableiten. Es ist

\begin{matrix} h (t) & = f (P + t v) \\ = f (3 + 2 t, 4 - 5 t) \\ = (3 + 2 t)^{2} - (3 + 2 t) (4 - 5 t)^{2} + \sin ((3 + 2 t) (4 - 5 t)) \\ = 9 + 12 t + 4 t^{2} - 48 + 88 t + 5 t^{2} - 50 t^{3} + \sin (12 - 7 t - 10 t^{2}) \\ = - 39 + 100 t + 9 t^{2} - 50 t^{3} + \sin (12 - 7 t - 10 t^{2}) . \end{matrix}

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

h^{'} (0) = 100 - 7 \cos 12,

also ist

(D_{(2, - 5)} f) (3, 4) = 100 - 7 \cos 12 .