Richtungsableitung/R/x^2-xy^2+sin(xy)/Punkt (3,4), Richtung (2,-5)/Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy^{2}+\sin(xy),$

im Punkt ${}P=(3,4)$ in Richtung ${}v=\left(2,\,-5\right)$. Dazu müssen wir die Hilfsfunktion

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

im Nullpunkt ableiten. Es ist

${}{\begin{aligned}h(t)&=f(P+tv)\\&=f(3+2t,4-5t)\\&=(3+2t)^{2}-(3+2t)(4-5t)^{2}+\sin((3+2t)(4-5t))\\&=9+12t+4t^{2}-48+88t+5t^{2}-50t^{3}+\sin \left(12-7t-10t^{2}\right)\\&=-39+100t+9t^{2}-50t^{3}+\sin \left(12-7t-10t^{2}\right).\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}h'(0)=100-7\cos 12\,,$

also ist

${}(D_{(2,-5)}f)(3,4)=100-7\cos 12\,.$