Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Differentialform/Wegintegral/Spur/Fakt/Beweis

Beweis

Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei

${}p^{-1}(U)=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,.$

Es sei ${}p_{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ der lokale Homöomorphismus und sei ${}\omega {|}_{V_{i}}=\omega _{i}$. Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf ${}U$ bzw. auf ${}V_{i}$ wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie

${}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta _{i}}{\omega _{i}}=\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega &=\sum _{i\in I}\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\sum _{i\in I}p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage