Räumliche Diffusion

Unter räumlicher Diffusion, auch passiver Transport genannt, versteht man die zufällige Bewegung der Molekule eines Stoffes (Brownsche Bewegung). Das System bemüht sich in ein Gleichgewicht (Equilibrium) zu kommen. Mathematisch wird dieses Gleichgewicht durch die partielle Differentiagleichung

$$div(c(x)\nabla u(x))=0$$

beschrieben, wobei die Funktion $u:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }$ die unbekannte Konzentration und $c:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }$ den ortsabhängigen Diffusionskoeffizienten beschreibt. Speziell ergibt sich für $c(x)=1$ die bekannte Laplace Gleichung $\Delta u(x)=0.$ Sie auch die Definitionen von Differentialoperatoren Divergenz $div$ , Gradient $\nabla$ und Laplace $\Delta$ .

Diese Gleichung modelliert zugleich auch die stationäre Wärmeverbreitung in einem Stoff, in diesem Fall ist die unbekannte Funktion $u$ die Temperatur.

Zeitabhängige Diffusion

Im Prozess der Diffusion ist neben der räumlicher Veränderung auch die zeitliche Konzentrationsveränderung zu beachten. Die Teilchen diffundieren aus den dicht-besiedelten Bereichen mit hoher Konzentration in die dünn-besiedelte Gebiete mit niedriger Konzentration; die Konzentration ändert sich mit der Zeit, solange das Gleichgewicht nicht erreicht ist. Dies modelliert man mathematisch mit der Abhängigkeit der gesuchten Funktion von der Zeit $t,$$u=u(x,t).$ Diese Funktion erfüllt die (instationäre) inhomogene Diffusionsgleichung

$$\partial _{t}u(x,t)-div[c(x)\nabla u(x,t)]=0.$$

Im Falle einer extern eingebrachten Konzentrationsquelle erfüllt $u(x,t)$ die inhomogene Gleichung

$$\partial _{t}u(x,t)-div[c(x)\nabla u(x,t)]=f(x,t),$$

wobei die externe Flussrate $f(x,t)$ den Teilchenzufluss modelliert.

Wird der diffundierende Stoff zusätzlich durch eine Hintergrundgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegt (gerichteter Transsport), so erfüllt die Konzentration die Konvektion-Diffusionsgleichung

$$\partial _{t}u(x,t)-div[c(x)\nabla u(x,t)]+div[u(x,t){\vec {v}}(x,t)]=0.$$

Für ein konstantes Geschwindigkeitsfeld ${\vec {v}}$ und konstanten Diffusionskoefizient $c$ lautet die Konvektion-Diffusionsgleichung

$$\partial _{t}u(x,t)-c\Delta u(x,t)+{\vec {v}}\cdot \nabla u(x,t)=0.$$

Physikalische Herleitung

Die instationäre Diffusionsgleichung beschreibt das Bewegungsprinzip der Teilchen oder Moleküle, die vom Ort mit höherer Konzentration in Orte mit niedriger Konzentration diffundieren. Betrachtet wird ein dünner horizontaler Stab der Länge L, wobei die Stoffkonzentration in vertikaler Richtung homogen ist. Mathematisch wird daher die Konzentration in einer räumlichen Dimension untersucht, auf einem Intervall $[0,L].$

Man bezeichnet mit $q(x,t)$ die Diffusionsflussrate (auch Teilchenstromdichte genannt), mit der die Teilchen den Punkt $x\in [0,L]$ in Zeit $t\in (0,T)$ von links nach rechts überqueren.

Teilchendiffusion

Die Gesamtkonzentration in einem Abschnitt des Intervalls zwischen $x$ und $x+\Delta x$ zur Zeit $t$ ist $\int _{x}^{x+\Delta x}u(s,t)ds$

Folgende zwei physikalische Gesetze werden benutzt, um die Diffusionsgleichung herzuleiten:

1. Erhaltungsgesetz: Der Stoff in einem Volumen entsteht oder verschwindet nicht, sondern bleibt erhalten (sofern nicht von außen zugefügt oder weggenommen).
2. Fick'sches Gesetz: Die Diffusionsflussrate (Teilchenstromdichte) $q(x,t)$ ist proportional zum Konzentrationsgradient, die Proportionalitätskonstante ist der negative Diffusionskoeffizient -$c(x),$
   $$q(x,t)=-c(x)\partial _{x}u(x,t).$$
   Dieses Gesetz drückt die Tatsache aus, dass sich die Teilchen in der Richtung des Konzentrationsabstiegs bewegen. Bei der Wärmeleitung wird das Fourier 'sche Gesetz angewendet, welches besagt, dass der Wärmestrom entgegen dem Temperaturgradient fliesst.

Aus dem Erhaltungsgesetz 1. folgt, dass die zeitliche Veränderung der Konzentration im Stababschnitt $[x,x+\Delta x]$ durch die Teilchenbewegung, also durch den Massenfluss durch die Querschnittsflächen in $x$ und $x+\Delta x$ erzeugt wird,

$${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{x}^{x+\Delta x}u(s,t)ds=q(x,t)-q(x+\Delta x,t).$$

Nach dem Teilen der obigen Gleichung durch $\Delta x$und dem Grenzübergang $\Delta x\to 0$ erhält man die sogennante Kontinuitätsgleichung

$$\partial _{t}u(x,t)=\partial _{x}q(x,t).$$

Ersetzt man nun die Diffusionsflussrate $q(x,t)$ über das Fisch'sche Gesetz, so erhält man die homogene Diffusionsgleichung

$$\partial _{t}u(x,t)-\partial _{x}[c(x)\partial _{x}u(x,t)]=0.$$

Ist der Diffusionskoeffizient konstant, wie bei isotropen Materialien, lautet die Diffusionsgleichung in einer räumlichen Dimension

$$\partial _{t}u(x,t)-c\partial _{xx}u(x,t)=0.$$

Im Diffusionsprozess mit gerichtetem Transport trägt außer der Teilchenbewegung durch Diffusion auch noch die Bewegung durch das Geschwindigkeitsfeld ${\vec {v}}$ zum Materialtransport bei. Also setzt sich der gesamte Materialfluss $j$ aus dem Diffusionsfluss $q=-c\partial _{x}u$ und dem zusätzlichen Konvektionsfluss ${\vec {v}}u$ zusammen,

$$j=-c\partial _{x}u+{\vec {v}}u.$$

Aus der Erhaltungsgleichung

$${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{x}^{x+\Delta x}u(s,t)ds=j(x,t)-j(x+\Delta x,t)$$

erhält man nach dem Teilen mit $\Delta x$ und dem Grenzübergang $\Delta x\to 0$ die Konvektion-Diffusionsgleichung (für konstanten Diffusionskoeffizienten):

$$\partial _{t}u(x,t)-c\partial _{xx}u(x,t)+\partial _{x}[{\vec {v}}(x,t)u(x,t)]=0.$$

Explizite Lösungen

Die Lösung der Laplace-Gleichung $\Delta u(x)=0$ und der inhomogenen Poissongleichung $\Delta u(x)=f(x),x\in \mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ lässt sich durch eine Integralformel formulieren. Diese Lösungsformel enthält die sogennante Fundamentallösung, die sich anhand der Rotationsinvarianz des Laplace-Operators finden lässt.

Die Lösung eines Dirichletproblems (Randwertaufgabe) für die Laplace und die Poissongleichung auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ lässt sich auch mittels Integralformen ausdrücken, hier wird jedoch die Greensche Funktion benötigt. Die Konstruktion der Greenschen Funktion ist in einigen Spezialfälllen wie beispielsweise $\Omega =\mathbb {R} _{\pm }^{n}$(Halbraum) oder Kugel $B_{r}(x)\subset \mathbb {R} ^{n}$bekannt.

Explizite Lösungsformeln für allgemeine Gebiete oder ortsabhängige Diffusionskoeffizienten sind nicht bekannt.

Auch für die instationäre Diffusionsgleichung in $\mathbb {R} ^{n}$ mit konstanten Koeffizienten existiert eine Formel für die Fundamentallösung und entsprechende Lösungsformel für das Cauchy-Problem (Anfangswertaufgabe), sogenannte Klassiche Lösungen.

Allerdings sind diese klassischen Formeln auch nur in Spezialfällen einsetzbar. Oft werden deswegen andere Lösungsmethoden verwendet, wie zum Beispiel der Separationsansatz oder die Fourier Transformation. Eine populäre und intensiv untersuchte Methode der Berechnung einer Annäherung der Lösung partieller Differentialgleichungen sind numerische Diskretisierungsmethoden.

Numerische Lösung

Der einfachste Lösungszugang ist etwa die Methode der finiten Differenzen. In diesem Verfahren werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Im Falle eindimensionaler Poissongleichung $\Delta u(x)=f(x),\,x\in I\subset \mathbb {R} ,$ entsteht nach der numerischen Diskretisierung durch Ersetzen von $u^{''}(x)$ durch zweiten Differenzenquotienten ein lineares System der Form $A_{h}u_{h}=f_{h}$, mit einer tridiagonaler Systemmatrix $A_{h}$, siehe ein Beispiel für die Diskretisierung der Poisson- und Wärmeleitungsgleichung am Intervall .

Bei zweidimensionaler Randwertaufgabe mit homogenen Randbedingungen:

$${\begin{aligned}\Delta u(x)&=f(x)\ \ {\mbox{in }}\ D\subset \mathbb {R} ^{2},\\u&=0\ \ \ \ \ \ \ \ {\mbox{auf}}\ \ \partial D\end{aligned}}$$

wobei $u=u(x,y),\ (x,y)\in D:=[a,b]\times [c,d]$ entsteht dagegen unter Verwendung eines äquidistanten Gitters mit konstanter Gittergröße $h=x_{i}-x_{i-1}={\frac {b-a}{n+1}}=y_{j}-y_{j-1},\ i=1,\ldots n,\,j=1,\ldots m$ nach der numerischen Diskretisierung ein lineares System mit Blocktridiagonaler Matrix

$A_{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{pmatrix}B&I&&\ldots &0\\I&B&I&&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\\0&&\ldots &I&B\end{pmatrix}}$ mit Diagonalblock $B={\begin{pmatrix}-4&1&0&\ldots &0\\1&-4&1&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\ldots &0&1&-4\end{pmatrix}}$und der Einheitsmatrix $I=E_{n}$ auf der Nebendiagonale.

Der Vektor der Unbekannten besteht aus den Approximationen der Lösung in den Gitterpunkten$(x_{i},y_{j}),\ u_{i,j}\approx u(x_{i},y_{j}),\ i=1,\ldots n,\ j=1,\ldots m,$wobei man in den Vektor in der Reihenfolge aufstellt, die zuerst in der ersten Zeile des Gitters ($y_{1}$ist fest) die Gitterpunkte von links nach rechts einordnet, $x_{1}\to x_{n}$, dann in der zweite Zeile u.s.w. Die Approximationswerte sind in dem unbekannten Vektor dann wie folgt geordnet,

$$u_{h}=(u_{1,1},u_{2,1},\ldots u_{n,1}|\ldots |u_{1,n},\ldots u_{m,n})^{T}.$$

In der selben Reihenfolge ist auch der Vektor der rechten Seite aufgestellt,

$$f_{h}=(f_{1,1},f_{2,1},\ldots f_{n,1}|\ldots |f_{1,n},\ldots f_{m,n})^{T},\ f_{i,j}=f(x_{i},y_{j}).$$

Sind die Randwerte der gesuchten Funktion unterschiedlich von Null, $u|_{\partial D}\neq 0$, muss der Vektor der rechten Seite entsprechend angepasst werden.

Folgende Simulationen mithilfe der Konvektionsdiffusionsgleichung beschreiben die Verbreitung der ausgestoßenen KFZ-Schadstoffe in einer Kreuzung. Die Vermischung der Abgase ist durch den Hintergrudstransport (modelliert durch laminare Strömung) und durch die Bewegung der Fahrzeuge (technisch umgesetzt durch Gitterbewegung und remeshing) verursacht.

Simulation of exhaust gases spread of two stagnant and two moving cars with background airflow, mesh movement and remeshing

Simulation der Verbreitung der KFZ-Abgase mit Hintegrundströmung

Autor: A. Hundertmark

Siehe auch

• Diffusion/Animationen

Literatur

• Martin Keller-Resse: Stochastische Analysis, Vorlesungsskript Stochastic Calculus, Institute of Mathematical Stochastics of TU Dresden.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).
• siehe auch Diffusion.