SL2C und SO3R/Vorbereitungen/2/Textabschnitt

Die projektive komplexe Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist die Menge aller Geraden im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre ${}S^{2}$. Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit ${}{\mathbb {C} }\cup \{\infty \}$ arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden (${}{\mathbb {C} }$ ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den „unendlich fernen Punkt“ ${}\infty$ nicht enthält) und andererseits mit der Sphäre über die stereographische Projektion in Bijektion (${}\infty$ entspricht dabei dem Nordpol).

Eine komplexe Zahl ${}u\in {\mathbb {C} }$ definiert die von ${}(u,1)\in {\mathbb {C} }^{2}$ erzeugte Gerade und damit den Punkt (in homogenen Koordinaten) ${}(u:1)$ der komplex-projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Die Umkehrabbildung ist durch ${}(u:v)\mapsto {\frac {u}{v}}$ gegeben, die für ${}v\neq 0$ definiert ist. Dem Punkt ${}(1,0)$ entspricht der unendlich ferne Punkt ${}\infty$.

Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{2}\setminus \{N\},\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left(z\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left(z\right)},\,\vert {z}\vert ^{2}-1\right)={\frac {1}{1+a^{2}+b^{2}}}\left(2a,\,2b,\,a^{2}+b^{2}-1\right).$

Die Gesamtabbildung

${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{(1:0)\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow S^{2}\setminus \{N\}$

besitzt insgesamt die Beschreibung

$(u:v)\longmapsto {\frac {1}{1+\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}-1\right).$

Mit ${}u=a+b{\mathrm {i} }$ und ${}v=c+d{\mathrm {i} }$ schreibt man dies (unter Verwendung von ${}\vert {v}\vert ^{2}=v{\overline {v}}$) als

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}-1\right)&={\frac {1}{\vert {u}\vert ^{2}+\vert {v}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left(u{\overline {v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left(u{\overline {v}}\right)},\,\vert {u}\vert ^{2}-\vert {v}\vert ^{2}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\left(2ac+2bd,\,2bc-2ad,\,a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right).\,\end{aligned}}$

Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle ${}(u:v)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ definiert ist, wobei ${}(1:0)$ auf den Nordpol ${}(0,0,1)$ abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow S^{2}$ vor. Die Umkehrabbildung ist (für $(x_{1},x_{2},x_{3})\neq (0,0,1)$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$) durch

$(x_{1},x_{2},x_{3})\longmapsto \left(x_{1}+x_{2}{\mathrm {i} }:1-x_{3}\right)$

gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch ${}{\sqrt {2-2x_{3}}}$ dividieren.

Insbesondere erhält man eine explizite (in den natürlichen Topologien stetige) Abbildung

${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow S^{2},$

deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind.

Die natürliche Operation der ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ - und das gilt auch für jede endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ - induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume (also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt) und damit auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Eine Gerade ${}H\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ wird durch ${}\sigma \in \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ einfach auf die Bildgerade ${}\sigma (H)$ abgebildet. Eine Gerade ${}\langle (u,v)\rangle$ wird unter ${}\sigma ={\begin{pmatrix}\ell &m\\n&p\end{pmatrix}}$ auf die Gerade ${}\langle (\ell u+mv,nu+pv)\rangle$ abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten

$(u:v)\longmapsto (\ell u+mv:nu+pv).$

Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$, trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante ${}1$ schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist

${}-E_{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.$