Beweis
Explizite Variante:
Um zu zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, seien
(
u
−
v
¯
v
u
¯
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}}
(
w
−
z
¯
z
w
¯
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}}
u
=
a
+
b
i
,
v
=
c
+
d
i
,
w
=
e
+
f
i
,
z
=
g
+
h
i
{\displaystyle u=a+bi,\,v=c+di,\,w=e+fi,\,z=g+hi}
gegeben. Ihr Produkt ist
(
u
−
v
¯
v
u
¯
)
⋅
(
w
−
z
¯
z
w
¯
)
=
(
u
w
−
v
¯
z
−
u
z
¯
−
v
w
¯
v
w
+
u
¯
z
−
v
z
¯
+
u
w
¯
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}uw-{\overline {v}}z&-u{\overline {z}}-{\overline {vw}}\\vw+{\overline {u}}z&-v{\overline {z}}+{\overline {uw}}\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}
und dabei ist
u
w
−
v
¯
z
=
(
a
+
b
i
)
(
e
+
f
i
)
−
(
c
−
d
i
)
(
g
+
h
i
)
=
a
e
−
b
f
−
c
g
−
d
h
+
(
a
f
+
b
e
−
c
h
+
d
g
)
i
{\displaystyle {}{\begin{aligned}uw-{\overline {v}}z&={\left(a+bi\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(c-di\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ae-bf-cg-dh+{\left(af+be-ch+dg\right)}i\end{aligned}}}
und
v
w
+
u
¯
z
=
(
c
+
d
i
)
(
e
+
f
i
)
−
(
a
−
b
i
)
(
g
+
h
i
)
=
c
e
−
d
f
−
a
g
−
b
h
+
(
c
f
+
d
e
−
a
h
+
b
g
)
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}vw+{\overline {u}}z&={\left(c+di\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(a-bi\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ce-df-ag-bh+{\left(cf+de-ah+bg\right)}i.\end{aligned}}}
Wir zeigen die Gleichheit exemplarisch für den Matrixeintrag links oben. Das Ergebnis für diesen Eintrag ist einerseits
(von der letzten Matrix ausgehend)
gleich
(
a
e
−
b
f
−
c
g
−
d
h
)
2
+
(
c
e
−
d
f
−
a
g
−
b
h
)
2
−
(
a
f
+
b
e
−
c
h
+
d
g
)
2
−
(
c
f
+
d
e
−
a
h
+
b
g
)
2
=
a
2
e
2
+
b
2
f
2
+
c
2
g
2
+
d
2
h
2
+
c
2
e
2
+
d
2
f
2
+
a
2
g
2
+
b
2
h
2
−
a
2
f
2
−
b
2
e
2
−
c
2
h
2
−
d
2
g
2
−
c
2
f
2
−
d
2
e
2
−
a
2
h
2
−
b
2
g
2
−
2
a
e
b
f
−
2
a
e
c
g
−
2
a
e
d
h
+
2
b
f
c
g
+
2
c
g
d
h
−
2
c
e
d
f
−
2
c
e
a
g
−
2
c
e
b
h
+
2
d
f
a
g
+
2
d
f
b
h
+
2
a
g
b
h
−
2
a
f
b
e
+
2
a
f
c
h
−
2
a
f
d
g
+
2
b
e
c
h
−
2
b
e
d
g
+
2
c
h
d
g
−
2
c
f
d
e
+
2
c
f
a
h
−
2
c
f
b
g
+
2
d
e
a
h
−
2
d
e
b
g
+
2
a
h
b
g
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(ae-bf-cg-dh\right)}^{2}+{\left(ce-df-ag-bh\right)}^{2}-{\left(af+be-ch+dg\right)}^{2}-{\left(cf+de-ah+bg\right)}^{2}&=a^{2}e^{2}+b^{2}f^{2}+c^{2}g^{2}+d^{2}h^{2}+c^{2}e^{2}+d^{2}f^{2}+a^{2}g^{2}+b^{2}h^{2}-a^{2}f^{2}-b^{2}e^{2}-c^{2}h^{2}-d^{2}g^{2}-c^{2}f^{2}-d^{2}e^{2}-a^{2}h^{2}-b^{2}g^{2}-2aebf-2aecg-2aedh+2bfcg+2cgdh-2cedf-2ceag-2cebh+2dfag+2dfbh+2agbh-2afbe+2afch-2afdg+2bech-2bedg+2chdg-2cfde+2cfah-2cfbg+2deah-2debg+2ahbg\\\end{aligned}}}
und andererseits gleich
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
(
e
2
+
f
2
−
g
2
−
h
2
)
+
4
(
−
a
d
+
b
c
)
(
e
h
+
f
g
)
+
4
(
a
c
+
b
d
)
(
−
e
g
+
f
h
)
=
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{\left(e^{2}+f^{2}-g^{2}-h^{2}\right)}+4{\left(-ad+bc\right)}{\left(eh+fg\right)}+4{\left(ac+bd\right)}{\left(-eg+fh\right)}&=\\\end{aligned}}}
[[Kategorie:SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt /Beweise]]
[[Kategorie:SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt /Beweise]]
[[Kategorie:SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt /Beweise]]
