Satz über die Umkehrabbildung/C/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die reelle Situation, also Fakt. Wir fassen die die komplexen Vektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ als reelle Vektorräume auf und wir fassen die komplex stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow V_{2},$

die die Voraussetzungen des Satzes im Punkt ${}P$ erfüllt, als eine reell stetig differenzierbare Abbildung auf. Dabei gilt die Voraussetzung über die Bijektivität des totalen Differentials auch in der reellen Situation, da ja das komplexe totale Differential mit dem reellen totalen Differential übereinstimmt. Es gibt also offene Umgebungen ${}U_{1}$ von ${}P$ und ${}U_{2}$ von ${}\varphi (P)$ derart, dass die Einschränkung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist und die Umkehrabbildung

${\left(\varphi {|}_{U_{1}}\right)}^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls reell stetig differenzierbar ist. Da das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eine komplex-lineare Abbildung beschreibt, gilt dies auch für die lineare Umkehrabbildung davon, die ja nach dem Satz das (reelle) totale Differential von ${}\varphi {|}_{U_{1}}$, also ${}\left(D{\left(\varphi {|}_{U_{1}}\right)}^{-1}\right)_{\varphi (P)}$ ist. Die Umkehrabbildung ist also in ${}\varphi (P)$ auch komplex total differenzierbar.

Zur bewiesenen Aussage