Satz über implizite Abbildungen/R/2 nach 1/Fakt

Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, sei  ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$  und sei  ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$  die Faser durch ${}P$. Die Jacobimatrix ${}\left(\partial _{1}\varphi (P),\,\partial _{2}\varphi (P)\right)$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, ein offenes Intervall  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{1}$  und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass  ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$  ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

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