Satz von Cayley/Formuliere und beweise/Aufgabe/Lösung

Der Satz von Cayley für endliche Gruppen besagt, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen lässt. Zum Beweis geht man wie folgt vor. Zur Gruppe ${}G$ bezeichnet ${}\operatorname {Perm} \,(G)$ die Gruppe der Permutationen auf der Menge ${}G$. Man betrachtet die Abbildung

$L\colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(G),\,g\longmapsto L_{g}:(h\mapsto gh),$

d.h. dem Gruppenelement ${}g$ wird die Multiplikation mit ${}g$ zugeordnet. Dabei ist diese Multiplikation wirklich eine Bijektion auf ${}G$ (mit der Multiplikation mit ${}g^{-1}$ als inverser Abbildung). Wir zeigen, dass die Zuordnung ${}g\mapsto L_{g}$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Offenbar ist ${}L_{e_{G}}$ die Identität, also das neutrale Element der Permutationsgruppe. Es seien ${}g,g'\in G$ und ${}h\in G$. Dann ist

${}L_{gg'}(h)=(gg')h=g(g'h)=L_{g}(g'h)=L_{g}(L_{g'}(h))=(L_{g}\circ L_{g'})(h)\,,$

sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Aus ${}L_{g}=\operatorname {id}$ folgt sofort ${}g=L_{g}(e_{G})=e_{G}$, sodass die Abbildung auch injektiv ist. Daher ist ${}G$ isomorph zur Bildgruppe, die eine Untergruppe der endlichen Permutationsgruppe ist.

Zur gelösten Aufgabe