Satz von Gauss/Ebene/Fakt

Der Satz von Gauss (Ebene)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}\partial T$ und es sei

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine auf einer offenen Menge ${}V\supseteq T$ definierte zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}&=\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen