Satz von Green/Subgraph einer Funktion/xdy/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}d(xdy)=dx\wedge dy\,$

ist einerseits

${}\int _{M}dx\wedge dy=\int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)\,$

der Flächeninhalt des Subgraphen, wobei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$ sei. Für das Kurvenintegral müssen wir den Rand von ${}M$ gegen den Uhrzeigersinn parametrisieren. Das Grundintervall wird durch ${}i:t\mapsto {\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}$ parametrisiert, dabei ist

${}i^{*}\omega =i^{*}xdy=xd0=0\,,$

dieser Ausschnitt des Wegintegrals ist also ${}0$. Für die Seite rechts ist ${}i:t\mapsto {\begin{pmatrix}b\\t\end{pmatrix}}$, eine Parametrisierung, wobei ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}f(b)$ wandert. Dabei ist

${}i^{*}xdy=bdt\,$

und das Wegintegral darüber ist ${}bf(b)$. Der Beitrag der Kante links ist ${}-af(a)$. Der Graph wird durch

$i\colon [a,b]\longrightarrow ,\,t\longmapsto (t,f(t)),$

parametrisiert. Dabei ist

${}i^{*}xdy=tdf=tf'(t)dt\,.$

Das Integral ist mit dem richtigen Vorzeichen gleich

${}{\begin{aligned}-\int _{a}^{b}tf'(t)dt&=-(tf(t)-F(t)){|}_{a}^{b}\\&=-(bf(b)-F(b)-af(a)+F(a))\\&=F(b)-F(a)+af(a)-bf(b).\end{aligned}}$

Das gesamte Wegintegral ist somit ebenfalls

${}{\begin{aligned}bf(b)-af(a)+F(b)-F(a)+af(a)-bf(b)&=F(b)-F(a)\\\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe