Beweis
Auf einer affinen Teilmenge
mit einer Trivialisierung
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![{\displaystyle {}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{U}^{r}}\cong \operatorname {Spek} {\left(R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39e9702e4ea80c56cd70c23f3ad231d9099fe60)
gibt es den durch 
gegebenen Nullschnitt. Wegen der Linearität der Übergangsabbildungen ist dieser Schnitt auf dem Durchschnitt 
unabhängig von der gewählten affinen Menge und somit wohldefiniert. Die Existenz der Addition beruht im Wesentlichen darauf, dass bei einem linearen 
-Algebraisomorphimus
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![{\displaystyle \theta \colon R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow R[U_{1},\ldots ,U_{r}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc0629e1fe0e48940fae03ca74e236de9aec6ff)
das Diagramm
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![{\displaystyle {\begin{matrix}R[T_{1},\ldots ,T_{r}]&{\stackrel {\alpha ^{*}}{\longrightarrow }}&R[T_{1},\ldots ,T_{r},S_{1},\ldots ,S_{r}]&\\\!\!\!\!\!\theta \downarrow &&\downarrow \theta \times \theta \!\!\!\!\!&\\R[U_{1},\ldots ,U_{r}]&{\stackrel {\alpha ^{*}}{\longrightarrow }}&R[U_{1},\ldots ,U_{r},V_{1},\ldots ,V_{r}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a917932e90e12bd95eed992bceeca0f27cab50d)
kommutiert. Die Existenz der Skalarmultiplikation ergibt sich in ähnlicher Weise.
