Schema/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}Y$ nicht leer. Sei  ${}P\in Y$  ein Punkt und  ${}P\in W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  eine offene affine Umgebung. Es ist dann

${}Y\cap W\subseteq W\,$

eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach Fakt ist  ${}Y\cap W=V({\mathfrak {p}})$  mit einem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in W$.  Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von ${}Y$ ist. Wenn  ${}U\subseteq X$  offen und ${}Y\cap U$ nicht leer ist, so ist auch ${}Y\cap U\cap W$ wegen der Irreduzibilität von ${}Y$ nicht leer und daher  ${}{\mathfrak {p}}\in U$.  Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema ${}W$ eindeutig bestimmt ist.

Zur bewiesenen Aussage