Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}P\in W=\operatorname {Spec} \left(R\right)\,$

eine offene affine Umgebung von ${}P$. Dann ist  ${}P\in U\cap W\subseteq \operatorname {Spek} \left(R\right)$  eine offene Teilmenge von ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ und damit von der Form  ${}U\cap W=D\left({\mathfrak {a}}\right)$  mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.  Wegen  ${}D\left({\mathfrak {a}}\right)=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$  ist

${}P\in D(f)\subseteq D\left({\mathfrak {a}}\right)\subseteq U\,$

für ein ${}f$ und ${}D(f)$ ist affin nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage