Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}P\in W=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\,$

eine offene affine Umgebung von ${}P$. Dann ist ${}P\in U\cap W\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ und damit von der Form ${}U\cap W=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Wegen ${}D{\left({\mathfrak {a}}\right)}=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$ ist

${}P\in D(f)\subseteq D{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq U\,$

für ein ${}f$ und ${}D(f)$ ist affin nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage