Schlange/Durchschlängeln/Differenzierbar/Aufgabe

Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge $[0,1]$ (gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende) parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall $[a,b]$ über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung

$\phi :[0,1]\times [a,b]⟶{ℝ}^2,(s,t)⟼\phi (s,t),$

beschrieben, dabei bezeichnet $\phi (s,t)$ den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt $t$ der Schlangenpunkt $s$ befindet.

1. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung

   $[a,b]⟶{ℝ}^2,t⟼\phi (0,t)?$

2. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung

   $[0,1]⟶{ℝ}^2,s⟼\phi (s,c),$

   zu einem festen Zeitpunkt  $c\in [a,b]$? 

3. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

   ${\int }_0^1\Vert \frac{\partial \phi }{\partial s}(s,c)\Vert ds=1$

   für ein (für alle)  $c\in [a,b]$. 

4. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

   ${\int }_0^r\Vert \frac{\partial \phi }{\partial s}(s,c)\Vert ds=r$

   für alle  $r\in [0,1]$  und alle  $c\in [a,b]$? 

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