Schnittmultiplizität/Einheitshyperbel und Kreis/Restklassenring als Produktring/Aufgabe

Bestimme für den Restklassenring $ℂ [X, Y] / (X Y - 1, X^{2} + Y^{2} - a)$ (für jedes $a \in ℂ$ ) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die $ℂ$ -Dimensionen der beteiligten Ringe an.