Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/(-2,3) Radius 4 und Gerade y-3x+1 ist 0/Aufgabe/Lösung

Die Kreisgleichung ist

${}(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16\,.$

Wir lösen die Geradengleichung nach ${}y$ auf und erhalten

${}y=3x-1\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten

${}(x+2)^{2}+(3x-4)^{2}=x^{2}+4x+4+9x^{2}-24x+16=16\,,$

also

${}10x^{2}-20x+4=0\,$

bzw.

${}x^{2}-2x+{\frac {2}{5}}=0\,.$

Somit ist

${}x={\frac {2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {2}{5}}}}}{2}}={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {12}{5}}}}{2}}={\frac {2\pm 2{\sqrt {\frac {3}{5}}}}{2}}=1\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}\,.$

Bei

${}x_{1}=1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,$

ist

${}y_{1}=3{\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,$

der erste Schnittpunkt ist also

${}P_{1}=\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.$

Bei

${}x_{2}=1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,$

ist

${}y_{2}=3{\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,$

der zweite Schnittpunkt ist also

${}P_{2}=\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.$

Zur gelösten Aufgabe