Sechste Einheitswurzeln/Quadratischer Zahlbereich zu D ist -3/Z mod 19/Aufgabe/Lösung

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In gibt es das Element . Es ist und . Damit ist und die Ordnung von ist . Neben den schon angeführten Elementen sind noch , , weitere sechste Einheitswurzeln. Das sind alle, da über jedem Integritätsbereich ein Polynom vom Grad maximal Nullstellen haben kann.

Betrachte nun . Die Ordnung der Einheitengruppe ist . Für die Potenzen von hat man , , , . Also ist primitiv und hat die Ordnung . Dann sind genau die Elemente der Form , wobei ein Vielfaches von ist, sechste Einheitswurzeln. Dies sind