Sechste Einheitswurzeln/Quadratischer Zahlbereich zu D ist -3/Z mod 19/Aufgabe/Lösung

In ${}A_{-3}$ gibt es das Element ${}z={\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$. Es ist ${}z^{2}={\frac {1-3+2{\sqrt {-3}}}{4}}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ und ${}z^{3}=z^{2}z={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1-3}{4}}=-1$. Damit ist $z^{6}=1$ und die Ordnung von ${}z$ ist ${}6$. Neben den schon angeführten Elementen sind noch ${}z^{0}=1$, ${}z^{4}=-z=-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$, ${}z^{5}=-z^{2}={\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}$ weitere sechste Einheitswurzeln. Das sind alle, da über jedem Integritätsbereich ein Polynom vom Grad ${}n$ maximal ${}n$ Nullstellen haben kann.

Betrachte nun ${}\mathbb {Z} /(19)$. Die Ordnung der Einheitengruppe ist ${}18$. Für die Potenzen von ${}2$ hat man ${}2^{2}=4\neq 0$, ${}2^{3}=8\neq 0$, ${}2^{6}=8^{2}=64=7\neq 0$, ${}2^{9}=8\cdot 7=56=-1$. Also ist ${}2$ primitiv und hat die Ordnung ${}18$. Dann sind genau die Elemente der Form ${}2^{n}$, wobei ${}n$ ein Vielfaches von ${}3$ ist, sechste Einheitswurzeln. Dies sind

$2^{0}=1,\,2^{3}=8,\,2^{6}=7,\,2^{9}=-1=18,\,2^{12}=-8=11,\,2^{15}=-7=12.$

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