Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten im Kreisteilungskörper. Es ist ${}K_{3}=K_{6}$, da ja mit einer dritten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta$ auch die sechste primitive Einheitswurzel ${}-\zeta$ enthalten ist. Wegen ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=K_{3}$ würde aus ${}{\sqrt {6}}\in K_{3}$ sofort ${}{\sqrt {-2}}\in K_{3}$ bzw. aus ${}{\sqrt {-6}}\in K_{3}$ sofort ${}{\sqrt {2}}\in K_{3}$

folgen. Dies würde dann auch in den Zahlbereichen gelten. Der quadratische Zahlbereich ${}R_{3}$ enthält aber nicht den quadratischen Zahlbereich zu ${}2$ oder zu ${}-2$, da man aus einem quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ das ${}D$ rekonstruieren kann, etwa mit der Diskriminante.

Zur gelösten Aufgabe