Siebter Kreisteilungsring/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe/Lösung

1. ${}y$ ist eine imaginäre Zahl.
2. Wir berechnen

   ${}y^{2}={\left(\zeta +\zeta ^{2}-\zeta ^{3}+\zeta ^{4}-\zeta ^{5}-\zeta ^{6}\right)}^{2}\,,$

   indem wir die Koeffizienten vor jedem ${}\zeta ^{j}$ bestimmen und dabei ${}\zeta ^{7}=1$ berücksichtigen. Für ${}j\neq 0$ ergibt sich dabei stets

   ${}2-2+1=1\,$

   und für ${}j=0$ ist der Koeffizient gleich ${}-2-2-2=-6$. Somit ist

   ${}y^{2}=-6+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{3}+\zeta ^{4}+\zeta ^{5}+\zeta ^{6}=-6-1=-7\,.$

3. Teil (2) bedeutet, dass der siebte Kreisteilungsring eine Quadratwurzel von ${}-7$ enthält. Damit enthält er auch den quadratischen Zahlbereich zu ${}-7$, und dieser ist gleich ${}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$.

Zur gelösten Aufgabe