Sigmaalgebra/Limes superior und limes inferior/Bemerkung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von messbaren Teilmengen. Dann sind auch die Mengen

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)}$

und

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{k\geq n}A_{k}\right)}$

messbar, da in beiden Fällen die inneren Mengen messbar sind und damit auch die Gesamtmenge messbar ist. Die erste Menge nennt man auch den Limes superior und die zweite den Limes inferior der Mengenfolge. Die erste Menge besteht dabei aus allen Elementen aus ${}M$, die in unendlich vielen der ${}A_{n}$ enthalten sind, und die zweite Menge aus allen Elementen aus ${}M$, die in fast allen der ${}A_{n}$ enthalten sind.