Sinus/X^2/Gleichmäßig stetig/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist. Wir zeigen, dass es zu

${}\epsilon ={\frac {1}{2}}\,$

und jedem

${}\delta >0\,$

Zahlen ${}x,x'\in \mathbb {R}$ gibt mit

${}\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,,$

aber

${}\vert {f(x')-f(x)}\vert =\vert {\sin \left((x')^{2}\right)-\sin \left(x^{2}\right)}\vert >{\frac {1}{2}}\,.$

Es sei dazu ${}\delta$ vorgegeben. Wir machen den Ansatz

${}x^{2}=n\pi \,$

und

${}(x')^{2}=n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N}$. Damit gilt

${}\vert {\sin \left((x')^{2}\right)-\sin \left(x^{2}\right)}\vert =\vert {\sin \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(n\pi \right)}\vert =\vert {\pm 1-0}\vert =1>{\frac {1}{2}}\,.$

Wir müssen jetzt noch zeigen, dass man die Bedingung

${}\vert {x'-x}\vert =\vert {{\sqrt {n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}-{\sqrt {n\pi }}}\vert \leq \delta \,$

erfüllen kann, die zu

${}\vert {{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}}\vert \leq {\frac {\delta }{\sqrt {\pi }}}\,$

äquivalent ist. Wegen

${}{\begin{aligned}{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}&={\left({\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}\right)}{\frac {{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\\&={\frac {n+{\frac {1}{2}}-n}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\\&={\frac {\frac {1}{2}}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}$

liegt eine Nullfolge vor und die Bedingung ist für ${}n$ hinreichend groß erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe