Sinus hyperbolicus/Wachsend/Aufgabe/Lösung

Nach Definition ist

${}\sinh x={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,,$

wobei wiederum

${}e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

gilt. Für geraden Exponenten ${}n$ ist ${}(-x)^{n}=x^{n}$ und für ungeraden Exponenten ${}n$ ist ${}(-x)^{n}=-{\left(x^{n}\right)}$. Deshalb heben sich im Sinus hyperbolicus die Potenzen zu geradem Exponenten weg und die zu ungeradem Exponenten verdoppeln sich. Deshalb ist

${}\sinh x=\sum _{n{\text{ ungerade}}}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.$

Da die Potenzen ${}x^{n}$ zu ungeradem Exponenten streng wachsend ist, folgt die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe