Sinusfunktion/Approximierende Polynome/Verschiedene Bedingungen/Aufgabe/Lösung

a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert ${}0$, daher ist

${}P=x(x+\pi )(x-\pi )=x(x^{2}-\pi ^{2})=x^{3}-\pi ^{2}x\,.$

b) Es ist

$f(0)=0,\,f'(0)=1,\,f(\pi )=0{\text{ und }}f'(\pi )=-1.$

Das gesuchte Polynom

${}Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

besitzt die Ableitung

${}Q'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.$

Somit müssen die Koeffizienten von ${}Q$ die Bedingungen  ${}d=0$, 

${}Q'(0)=c=1\,,$

${}a\pi ^{3}+b\pi ^{2}+\pi =0\,,$

also

${}a\pi ^{2}+b\pi +1=0\,$

und

${}3a\pi ^{2}+2b\pi +1=-1\,$

erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern

${}b\pi +2=1\,,$

also

${}b=-{\frac {1}{\pi }}\,$

und damit ist

${}a=0\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${}Q=-{\frac {1}{\pi }}x^{2}+x\,.$

c) Das gesuchte Polynom ${}R$ ist das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zu ${}f$ an der Stelle ${}\pi /2$. Die Ableitungen an dieser Stelle sind

$f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1,\,f'{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0,\,f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1{\text{ und }}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0.$

Das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ ist daher

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe