Sinusfunktion/Iteration/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten die Funktion

auf . Wegen

ist dies positiv für und gleich für . Daher ist streng wachsend und es gilt

für und . Daher ist die Folge zu jedem Startwert fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei der Grenzwert, der wieder zu gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

und der Stetigkeit des Sinus folgt

Nach den bisherigen Überlegungen muss

sein. Die Folge konvergiert also bei jedem Startwert gegen .
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