Spezielle Primzahlen/Mersenne-Zahlen/Bemerkung

Die Mersenne-Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau ${}n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

$2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$

Die Zahl ${}2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich ${}2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

$2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten ${}258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt ${}49$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist

$2^{74207281}-1.$

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.