Spezielle Primzahlen/Mersenne-Zahlen/Bemerkung

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Die Mersenne-Zahl hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

Die Zahl ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich , ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten . Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.