Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B={\left(b_{rs}\right)}_{1\leq r\leq n,1\leq s\leq m}\,.$

Für die Spur sind nur die Diagonalelemente von ${}C=AB$ bzw. von ${}D=BA$ relevant. Es ist

${}c_{ii}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\,$

und somit

${}\operatorname {Spur} {\left(AB\right)}=\sum _{i=1}^{m}c_{ii}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\right)}=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}a_{ij}b_{ji}\,.$

Entsprechend ist

${}d_{rr}=\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\,$

und daher

${}\operatorname {Spur} {\left(BA\right)}=\sum _{r=1}^{n}d_{rr}=\sum _{r=1}^{n}{\left(\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\right)}=\sum _{1\leq s\leq m,\,1\leq r\leq n}a_{sr}b_{rs}\,,$

was mit der Spur von ${}AB$ übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe