Stammfunktion/ln (1+sin) sin/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt ${}{\frac {\cos x}{1+\sin x}}$ und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion ${}-\cos x$. Das ergibt

${}\int \ln \left(1+\sin x\right)\sin xdx=-\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx\,.$

Das rechte Integral ist

${}{\begin{aligned}\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx&=\int {\frac {\cos ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {1-\sin ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}}dx\\&=\int 1-\sin xdx\\&=x+\cos x.\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion ist somit

$-\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+x+\cos x,$

was man durch ableiten bestätigt

(deshalb mussten wir uns oben keine Gedanken über die Integrationsgrenzen machen).

Zur gelösten Aufgabe