Stammfunktion/x^2+1 durch x(x-1)(x-2)/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

${}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{x-1}}+{\frac {\gamma }{x-2}}\,.$

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

${}{\begin{aligned}x^{2}+1&=\alpha (x-1)(x-2)+\beta x(x-2)+\gamma x(x-1)\\&=\alpha (x^{2}-3x+2)+\beta (x^{2}-2x)+\gamma (x^{2}-x)\\&=x^{2}(\alpha +\beta +\gamma )+x(-3\alpha -2\beta -\gamma )+2\alpha .\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem

${}\alpha +\beta +\gamma =1\,,$

${}-3\alpha -2\beta -\gamma =0\,,$

und

${}2\alpha =1\,.$

Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt

${}-2\alpha -\beta =1\,.$

Also ist ${}\alpha ={\frac {1}{2}}$,

${}\beta =-2\alpha -1=-2\,$

und

${}\gamma =1-\alpha -\beta ={\frac {5}{2}}\,.$

Somit ist

${}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}-2\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}\,$

und eine Stammfunktion ist

${\frac {1}{2}}\cdot \ln x-2\cdot \ln(x-1)+{\frac {5}{2}}\cdot \ln(x-2).$

Zur gelösten Aufgabe