Stammfunktionen/Wichtige Beispiele/Textabschnitt

Die Stammfunktion der Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ ist der natürliche Logarithmus.

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst.

Die Stammfunktion von ${}\sin x$ ist ${}-\cos x$, die Stammfunktion von ${}\cos x$ ist ${}\sin x$.

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist ${}\arctan x$, es ist ja

${}{\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1-x^{2}}}$ auf ${}]{-1},1[$ ist ${}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}={\frac {1}{2}}{\left(\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\right)}$, es ist ja

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}\cdot \ln {\frac {1+x}{1-x}}\right)}^{\prime }&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1-x)+(1+x)}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\\&={\frac {1}{(1-x^{2})}}.\end{aligned}}$

Auf ${}\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}$ ist ${}{\frac {1}{2}}\ln \vert {\frac {1+x}{1-x}}\vert$ eine Stammfunktion.