Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Unterräume/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
Die Untervektorräume des sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form
oder
mit einem . Die erstgenannte Gerade (die -Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja
wieder dazu gehört. Es sei also
Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige das Produkt
wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei
der Fall, also bei
was oder
bedeutet. Es sind also auch noch die -Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.