Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe/Lösung

a) Es seien ${}L_{1},L_{2}<1$ die Kontraktionsfaktoren zu ${}f$ bzw. ${}g$. Dann ist für beliebige Punkte ${}x,y\in M$

${}d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,$

und somit kann man ${}L_{1}L_{2}<1$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die drei Punkte

${}M=\{0,2,3\}\subset \mathbb {R} \,$

mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung

$f=0$

und ${}g$ mit

$g(0)=2,\,g(2)=g(3)=3.$

Die konstante Abbildung ${}f$ ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor ${}0$) und ${}g$ ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ${}{\frac {1}{2}}$; es ist ja

${}d(g(0),g(2))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}2={\frac {1}{2}}d(0,2)\,,$

${}d(g(0),g(3))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}3={\frac {1}{2}}d(0,3)\,,$

und

${}d(g(2),g(3))=d(3,3)=0\leq {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}d(2,3)\,.$

Der Fixpunkt von ${}f$ ist ${}0$ und der Fixpunkt von ${}g$ ist ${}3$. Dagegen ist

${}(gf)(2)=g(f(2))=g(0)=2\,,$

es ist also ${}2\neq 0,3$ der Fixpunkt der Verknüpfung.

Zur gelösten Aufgabe