Stetige Abbildung/Garbe/Vorschub/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}V=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$

eine offene Überdeckung einer offenen Menge  ${}V\subseteq Y$.  Dann bilden die ${}\varphi ^{-1}(V_{i})$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}\varphi ^{-1}(V)$. Es seien ${}s,t\in \varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$ mit  ${}s{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=t{|}_{V_{i}\cap V_{j}}$  gegeben. Dies bedeutet unmittelbar ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$ und

${}s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}=s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}\,.$

Daher ist (nach der ersten Garbeneigenschaft von ${}{\mathcal {F}}$)  ${}s=t$  in ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$, also  ${}s=t$  in ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$.

Es seien nun ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ mit

${}s_{i}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=s_{j}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}\,.$

Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}X$ unmittelbar, dass kompatible Schnitte in ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\right)}$ vorliegen, denen ein Schnitt in  ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$  entspricht.

Zur bewiesenen Aussage