Nehmen wir an, dass
f
{\displaystyle {}f}
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}c\in [a,b]}
f
(
c
)
≠
0
{\displaystyle {}f(c)\neq 0}
f
(
c
)
>
0
{\displaystyle {}f(c)>0}
f
{\displaystyle {}f}
J
=
[
d
,
e
]
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}J=[d,e]\subseteq [a,b]}
f
(
x
)
≥
f
(
c
)
2
{\displaystyle {}f(x)\geq {\frac {f(c)}{2}}}
x
∈
J
{\displaystyle {}x\in J}
g
{\displaystyle {}g}
J
{\displaystyle {}J}
J
{\displaystyle {}J}
g
(
x
)
=
−
(
x
−
d
)
(
x
−
e
)
{\displaystyle {}g(x)=-(x-d)(x-e)\,}
definiert. Die Funktion
g
{\displaystyle {}g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}[a,b]}
[
d
,
e
]
{\displaystyle {}[d,e]}
J
′
=
[
s
,
t
]
⊆
J
{\displaystyle {}J'=[s,t]\subseteq J}
g
(
x
)
≥
g
(
c
+
d
2
)
2
{\displaystyle {}g(x)\geq {\frac {g({\frac {c+d}{2}})}{2}}}
x
∈
J
′
{\displaystyle {}x\in J'}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
c
d
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≥
∫
s
t
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≥
(
t
−
s
)
f
(
c
)
2
g
(
c
+
d
2
)
2
>
0
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx&=\int _{c}^{d}f(x)g(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f(x)g(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {f(c)}{2}}{\frac {g({\frac {c+d}{2}})}{2}}\\&>0\end{aligned}}}
im Widerspruch zur Voraussetzung.
[[Kategorie:Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit Testfunktionen/Aufgabe/2 /Lösungen]]
[[Kategorie:Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit Testfunktionen/Aufgabe/2 /Lösungen]]
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
![{\displaystyle {}J=[d,e]\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de6c58c8c63692b63e42bcaff09a79364b7178c)
![{\displaystyle {}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5a6e660b5cdc1a9c76f6e6b0d486328c3f6937)
![{\displaystyle {}[d,e]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fdb19f1eae1769839a86893d1396e15fd4859b)
![{\displaystyle {}J'=[s,t]\subseteq J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f8b2e8838ca29e5225a813b181b297cb51664)
