Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit Testfunktionen/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Da ${}f$ selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für ${}g=f$, es ist also

${}\int _{a}^{b}f(x)^{2}dx=0\,.$

Nehmen wir an, dass ${}f$ nicht die Nullfunktion ist. Es sei ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)\neq 0$. Dann ist ${}f(c)^{2}=\epsilon >0$ und da ${}f^{2}$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall ${}c\in [s,t]\subseteq [a,b]$, worauf die Werte der Funktion ${}f^{2}$ mindestens so groß wie ${}\epsilon /2$ sind. Wegen ${}f^{2}\geq 0$ ist daher

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx&=\int _{a}^{s}f^{2}(x)dx+\int _{s}^{t}f^{2}(x)dx+\int _{t}^{b}f^{2}(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f^{2}(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {\epsilon }{2}}\\&>0\end{aligned}}$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe