Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe/Lösung
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Es ist , da
ist, man also für die konstante Funktion mit dem Wert nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei
mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Dann ist auch die Funktion
wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Fakt auch stetig. Damit gilt
Zum Nachweis der Transitivität gelte
und
mit stetigen nullstellenfreien Funktionen . Dann ist
und ist ebenfalls nach Fakt eine stetige nullstellenfreie Funktion.
- Es sei
mit stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes
Wegen
gilt
genau dann, wenn
ist. Dies bedeutet, dass und die gleichen Nullstellen besitzen.
- Nehmen wir an, dass und im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion mit
für alle . Für bedeutet dies
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von bedeutet dies nach Fakt (2), dass auch
sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von .