Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist , da

    ist, man also für die konstante Funktion mit dem Wert nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei

    mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Dann ist auch die Funktion

    wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Fakt auch stetig. Damit gilt

    Zum Nachweis der Transitivität gelte

    und

    mit stetigen nullstellenfreien Funktionen . Dann ist

    und ist ebenfalls nach Fakt eine stetige nullstellenfreie Funktion.

  2. Es sei

    mit stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes

    Wegen

    gilt

    genau dann, wenn

    ist. Dies bedeutet, dass und die gleichen Nullstellen besitzen.

  3. Nehmen wir an, dass und im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion mit

    für alle . Für bedeutet dies

    Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von bedeutet dies nach Fakt  (2), dass auch

    sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von .

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