Stetige Funktionen/R/Ausbreitungsraum/Nicht hausdorffsch/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten in ${}0\in \mathbb {R}$ einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion ${}f$, die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert ${}0$ besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime ${}(0,0)$ und ${}(0,f)$ im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von ${}(0,0)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form ${}(U,g)$ mit einer offenen Umgebung ${}U$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion ${}g$, die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist ${}g$ eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung ${}U'$ die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von ${}(0,f)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form ${}(V,h)$ mit einer offenen Umgebung ${}V$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion ${}h$, die im Halm mit ${}f$ übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls ${}V'$ des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte ${}x$ aus ${}U'\cap V'\cap \mathbb {R} _{-}$ gilt daher ${}(x,0)\in (U',0)\cap (V',h)$

und es gibt keine disjunkten Umgebungen.

Zur gelösten Aufgabe