Zum Inhalt springen

Stetige Funktionen/R/Ausbreitungsraum/Nicht hausdorffsch/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity


Wir betrachten in einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion , die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime und im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm mit übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte aus gilt daher

und es gibt keine disjunkten Umgebungen.