Stetige Funktionen/R/Teilbarkeitseigenschaften/Beispiel

Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ (oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen). Die Funktion

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{e^{1/x}}}{\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

ist stetig. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist ${}{\frac {f}{x^{n}}}$ stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da

${}{\frac {e^{-1/x}}{x^{n}}}=e^{-u}u^{n}={\frac {u^{n}}{e^{u}}}\,$

für

${}u={\frac {1}{x}}\rightarrow \infty \,$

gegen ${}0$ geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung

${}f=x^{n}\cdot g_{n}\,$

für beliebiges ${}n$.