Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf
(oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen).
Die Funktion
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![{\displaystyle {}f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{e^{1/x}}}{\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ee124c46018156e5ddb406d6e87d8afc72c029)
ist stetig. Für jedes
ist
stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da
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![{\displaystyle {}{\frac {e^{-1/x}}{x^{n}}}=e^{-u}u^{n}={\frac {u^{n}}{e^{u}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044c3fe86d140518b924cc2132ae3d5ff6c25c05)
für
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![{\displaystyle {}u={\frac {1}{x}}\rightarrow \infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43550b842b68de660af222c6dff56b772cb07ff0)
gegen
geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung
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![{\displaystyle {}f=x^{n}\cdot g_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa088c27a23feb8321bce61baa4d392ef22baad)
für beliebiges
.