Sei
Da f {\displaystyle {}f} und g {\displaystyle {}g} stetig sind, gibt es zu
positive Zahlen δ 1 {\displaystyle {}\delta _{1}} bzw. δ 2 {\displaystyle {}\delta _{2}} derart, dass aus | x − a | ≤ δ 1 {\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta _{1}} die Abschätzung | f ( x ) − f ( a ) | ≤ ϵ {\displaystyle {}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq \epsilon } und aus | x − a | ≤ δ 2 {\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta _{2}} die Abschätzung | g ( x ) − g ( a ) | ≤ ϵ {\displaystyle {}\vert {g(x)-g(a)}\vert \leq \epsilon } folgt. Mit
gilt somit für jedes x ∈ [ a − δ , a + δ ] {\displaystyle {}x\in [a-\delta ,a+\delta ]} die Abschätzung
und 
stetig sind, gibt es zu
bzw. 
derart, dass aus 
die Abschätzung 
und aus 
die Abschätzung 
folgt. Mit
![{\displaystyle {}x\in [a-\delta ,a+\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9b3bafaa2faac72bc38dad249dc53053ba0cb2)
die Abschätzung
