Stetiges Vektorfeld/S^2/Nur eine Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ das stetige Vektorfeld ${}F$, das durch

${}F(x,y)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$

gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf ${}\mathbb {R} ^{2}\cong S^{2}\setminus \{N\}$ und ergänzen es im Nordpol durch den Wert ${}0\in T_{N}S^{2}$. Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei ${}P_{n}$ sei eine Folge auf ${}S^{2}$, die gegen ${}N$ konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle ${}P_{n}\neq N$ sind. Das Kartenbild dieser Folge ist

${}P'_{n}=(x_{n},y_{n})\,,$

und da ${}P_{n}$ gegen den Nordpol konvergiert, divergiert ${}\vert {P_{n}'}\vert$ bestimmt gegen ${}\infty$. Daher konvergiert die Folge

${}F(P'_{n})=F(x_{n},y_{n})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$

gegen ${}0$.

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