Stetigkeit/R und C/Negation und Invertierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus

${}\vert {-x-(-y)}\vert =\vert {-x+y}\vert \,.$

Zur zweiten Aussage sei ${}x\neq 0$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei ${}b=\vert {x}\vert >0$. Wir setzen ${}\delta ={\min {\left({\frac {b^{2}\epsilon }{2}},{\frac {b}{2}}\right)}}$. Dann gilt für jedes ${}y$ mit ${}\vert {x-y}\vert \leq \delta$ die Abschätzung (wegen ${}\vert {y}\vert \geq b/2$)

${}\vert {x^{-1}-y^{-1}}\vert =\vert {\frac {y-x}{xy}}\vert ={\frac {\vert {y-x}\vert }{\vert {x}\vert \cdot \vert {y}\vert }}\leq {\frac {b^{2}\epsilon /2}{b^{2}/2}}=\epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage