Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/2/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16+24&12+27\\32+72&24+81\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}={\frac {1}{144}}{\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist ${}{\frac {1}{144}}$ und somit größer als ${}{\frac {1}{1000}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}160+312&120+351\\416+840&312+945\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{3}={\frac {1}{1728}}{\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist

${}{\frac {1}{1728}}\leq {\frac {1}{1000}}\,.$

Somit muss man bis zur dritten Potenz gehen.

Zur gelösten Aufgabe