Strahlensatz/Zwei Strahlen/Ähnlichkeit der Dreiecke/Fakt

Strahlensatz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien  ${}s_{1},s_{2},v\in V$  Vektoren und ${}v$ sei sowohl zu ${}s_{1}$ als auch zu ${}s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien  ${}S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$  und  ${}S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$  die durch ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden  ${}G=P+\mathbb {R} v$  und  ${}H=Q+\mathbb {R} v$.  Die Schnittpunkte der Geraden seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$

und es seien  ${}A_{1},A_{2},A_{1}-A_{2}\neq 0$. 

Dann ist

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}={\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen