Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt

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Es seien zwei Strecken und gegeben. Man sagt, dass ein (ganzzahliges) Vielfaches von ist, wenn es eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft gibt, dass sich die Strecke ergibt, wenn man die Strecke -fach gerade hintereinanderlegt (die Strecke wird also -mal genommen). Für zwei Strecken und gibt es das folgende Konzept, das ihre ganzzahlige Vergleichbarkeit ausdrückt. Man beachte, dass dieses Konzept unabhängig von solchen Messungen ist, die die Längen in Zahlen mit Hilfe von Einheiten ausdrücken. Es werden nur die beiden Längen gegeneinander gemessen, man verwendet keine normierten Standardlängen.


Definition  

Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.

Auch vom euklidischen Algorithmus gibt es in diesem Kontext eine sinnvolle Version. Die Strecke sei mindestens so lang wie . Dann ist

mit und einer „Reststrecke“ , die kürzer als ist und eventuell ist. Die Gleichung ist dabei als eine Gleichung von hintereinander hingelegten Strecken zu verstehen. Wie in Fakt ergibt sich, dass mit und auch und kommensurabel sind. Wenn man dieses Verfahren rekursiv fortsetzt, so tritt im Falle der Kommensurabilität irgendwann die Situation auf, wo die kleine Strecke in die größere Strecke voll aufgeht. Somit hat man dann auch die größte gemeinsame Teilerstrecke gefunden.