Subgraph von Sinus/0 bis pi/Integral zu x und y/Aufgabe/Lösung

a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist

${}{\begin{aligned}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}x\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }x\sin x\,dx\\&=(\sin x-x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&=\pi .\end{aligned}}$

b)

${}{\begin{aligned}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}y\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }(({\frac {1}{2}}y^{2})|_{0}^{\sin x})\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}x\,dx\\&={\frac {1}{4}}(x-\sin x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{4}}\pi .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe