Substitution/Treppenfunktion/Streng wachsend/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ${}f\circ \varphi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun ${}\varphi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds\,$

direkt, ohne Bezug auf die

Substitutionsregel.

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